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By Eduard Alexis Larrañaga R.

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6. Diagramas de Carter-Penrose Como se ha observado, las coordenadas de Kruskal permiten analizar una gran cantidad de características de la solución de Schwarzschild. Con esta transformación se han agregado tres regiones a la región que cubre la métrica original. Sin embargo, el infinito sigue estando fuera de la variedad. Por ello, es útil realizar una transformación que traiga toda la variedad a una región compacta de tal forma que podamos verla completamente, adicionando los puntos del infinito.

Futuro Causal El futuro causal J + (p) del punto p se define como el conjunto de todos los eventos que siguen causalmente al punto p, es decir el conjunto de todos los puntos q para los cuales existe al menos una curva causal dirigida al futuro desde p hasta q. Esta definición se puede extender al futuro causal J + (U ) de un conjunto de puntos U ⊂ M, como el conjunto de todos los puntos que siguen causalmente al menos a un punto de U . − + Definimos además J (U ) y J (U ) como la clausura topológica del pasado causal y el futuro causal de U respectivamente.

Ejemplo. 21). 22) gϕϕ = r2 sin2 θ. 23) Definimos una familia de hipersuperficies esféricas mediante la función Φ = r − 2M , por lo cual, los vectores normales a estas hiperuperficies son n = N g µσ ∂µ Φ∂σ ∂Φ = N g vr ∂v ∂r = N ∂v . 26) 44 CAPÍTULO 3. 29) con lo que se puede observar fácilmente que el horizonte, r = 2M , es una hipersuperficie nula. Ahora bien, aún cuando n2 se anula en r = 2M , el término ∂ µ n2 no es cero. 32) ∂ θ n2 = ∂ ϕ n2 = 0. 33) Al evaluar estas cantidades en la hipersuperficie r = 2M la única componente no nula es 1 1 N2 = − N nv .

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